Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{x^{3}}{2 x + 3} d x$

Passaggio 2

Dividi $x^{3}$ per $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{x^{2}}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 2.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{3 x^{2}}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	-	$\frac{9 x}{4}$

Passaggio 2.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4}$

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$

Passaggio 2.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$

Passaggio 2.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Passaggio 2.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $\frac{9 x}{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Passaggio 2.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

Passaggio 2.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $\frac{9 x}{4} + \frac{27}{8}$

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

Passaggio 2.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

Passaggio 2.16

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$4 \int \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int x d x) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} x + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 12

$\frac{9}{8}$ e $x$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Passaggio 14

Poiché $\frac{27}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{27}{8}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 x + 3} d x))$

Passaggio 15

Sia $u = 2 x + 3$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sia $u = 2 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Differenzia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 15.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 15.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 15.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 15.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 15.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 15.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 15.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 16.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 17

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{27}{8}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 18.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 19

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 20

Semplifica.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| u |)}{16}) + C$

Passaggio 21

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Passaggio 22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Per scrivere $\frac{x^{3}}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Passaggio 22.2

Per scrivere $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 22.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $48$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.3.1

Moltiplica $\frac{x^{3}}{6}$ per $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 22.3.2

Moltiplica $6$ per $8$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 22.3.3

Moltiplica $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

Passaggio 22.3.4

Moltiplica $16$ per $3$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Passaggio 22.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Passaggio 22.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.5.1

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Passaggio 22.5.2

Moltiplica $3$ per $- 27$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

Passaggio 22.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.7.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.7.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x^{2}}{8}$ nel numeratore.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.1.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.1.3

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.7.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Passaggio 22.7.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.7.3.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

Passaggio 22.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

Passaggio 22.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Passaggio 22.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Passaggio 23

Riordina i termini.

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$