Calcolo Esempi

$\int (\frac{8 - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int \frac{8 - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\int \frac{2 (4) - 4 x + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$\int \frac{2 (4) + 2 (- 2 x) + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.3

Scomponi $2$ da $2 (4) + 2 (- 2 x)$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x) + 6 x^{\frac{4}{3}} + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.4

Scomponi $2$ da $6 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x) + 2 (3 x^{\frac{4}{3}}) + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.5

Scomponi $2$ da $2 (4 - 2 x) + 2 (3 x^{\frac{4}{3}})$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 12 \sqrt[3]{x^{8}}}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.6

Scomponi $2$ da $12 \sqrt[3]{x^{8}}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 \sqrt[3]{x^{8}})}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.7

Scomponi $2$ da $2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 \sqrt[3]{x^{8}})$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{4 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt[3]{x}$ .

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{2 (2 \sqrt[3]{x})} d x$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}})}{2 (2 \sqrt[3]{x})} d x$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 \sqrt[3]{x^{8}}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{8}}$ come $x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 4.3

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.4.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}}) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x + 3 x^{\frac{4}{3}}) x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (4 - 2 x) x^{- \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{1 - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{3 - 1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.8

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{4 - 1}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.11

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{3}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{3}{3}} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{1} + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.13

Semplifica.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8}{3}} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{8 - 1}{3}} d x$

Passaggio 5.16

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Passaggio 5.17

Sposta $- 2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 4 x^{- \frac{1}{3}} + 3 x - 2 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Passaggio 5.18

Riordina $4 x^{- \frac{1}{3}}$ e $3 x$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} d x$

Passaggio 5.19

Sposta $- 2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 x^{- \frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{7}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} d x$

Passaggio 5.20

Sposta $4 x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int 3 x + 6 x^{\frac{7}{3}} + 4 x^{- \frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{\frac{7}{3}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{7}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{2}{3}} d x)$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x^{\frac{10}{3}}}{5} + 6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{5}) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{5} x^{\frac{10}{3}} + 6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$