Calcolo Esempi

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{x}$ .

$\ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Passaggio 7

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + e^{x} |) + C$