Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (0)}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.8

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 2.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 1}{7 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{5 - 3}{7 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{2}{7 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{2}{7 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{7 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma $7$ e $1$ .

$\frac{2}{8}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$