Calcolo Esempi

${(\frac{1}{x})}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{1}{x})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $1$ e $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Semplifica $x^{0} \cdot - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

Passaggio 15

Moltiplica $\ln (\frac{1}{x})$ per $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 16.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 16.2.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 16.2.2

Riscrivi $- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ come $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Passaggio 16.3

Riordina i termini.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$