Calcolo Esempi

$9 x \cos (3 x)$

Passaggio 1

Scrivi $9 x \cos (3 x)$ come funzione.

$f (x) = 9 x \cos (3 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 9 x \cos (3 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int x \cos (3 x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (3 x)$ .

$9 (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$9 (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Passaggio 8

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Passaggio 9

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 13

Riscrivi $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ come $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 15.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 (3) \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 3 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 15.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Passaggio 15.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (x \sin (3 x)) + \cos (3 x) + C$

$3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 9 x \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$