Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 5 - 7 x$ . Allora $d u = - 7 d x$ , quindi $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 5 - 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$0 - 7$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $7$ da $0$ .

$- 7$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Passaggio 5.3

Sposta $7$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{7}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 9.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 9.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.2.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ come $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Passaggio 11.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $\frac{3}{7}$ per $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $\frac{3}{7}$ per $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Passaggio 11.2.7

Elimina il fattore comune di $3$ e $21$ .

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Passaggio 11.2.7.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Passaggio 11.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Passaggio 11.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Passaggio 11.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$