Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{2 x}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra e a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$