Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $8$ come $9$ più $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Passaggio 7

Riscrivi $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ come $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Passaggio 9.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$