Calcolo Esempi

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 \arctan (\frac{t}{2})$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t}{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Passaggio 2.8

$5$ e $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.3

$2$ e $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.5.2

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

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Passaggio 3.7.1

$5$ e $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$