Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Passaggio 1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 5.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{4}}$ tende a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Passaggio 8.2.1.4

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 8.2.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 8.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.2.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 8.2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.2.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.2.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 8.2.5.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 8.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 8.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 8.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 8.2.6.2.4

Dividi $2 \sqrt{2}$ per $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$- 2.82842712 \dots$