Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3 x$ da $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 3 x (x + 2)$ . Allora $d u = (6 x + 6) d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 3 x (x + 2)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x (x + 2)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4

Differenzia.

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Passaggio 3.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Passaggio 3.1.4.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.1.4.6.1

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Passaggio 3.1.4.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

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Passaggio 3.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Passaggio 3.1.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.1.5.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Passaggio 3.1.5.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x + 6$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 6.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$