Calcolo Esempi

$x \cdot \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $x \cdot \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x \cdot \ln (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \cdot \ln (x) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Passaggio 7.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Passaggio 7.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Passaggio 9.3

$x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Passaggio 9.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$