Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x + 1$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 5.2

Calcola $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.4

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.6

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.8

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.9

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.12

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.15

Somma $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.17

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.18

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 5.3.19

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Passaggio 5.3.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.20.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Passaggio 5.3.20.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Passaggio 5.3.21

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Passaggio 5.3.22

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Passaggio 5.3.23

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Passaggio 5.3.24

Somma $\frac{2}{5}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Passaggio 5.3.25

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.26

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.27

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

Passaggio 5.3.28

Per scrivere $\frac{4}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Passaggio 5.3.29

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.29.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Passaggio 5.3.29.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Passaggio 5.3.30

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

Passaggio 5.3.31

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.31.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20 - 4}{15}$

Passaggio 5.3.31.2

Sottrai $4$ da $20$ .

$\frac{16}{15}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16}{15}$

Forma decimale:

$1.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{15}$

Passaggio 7