Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x^{2} - 12) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{2 x + 8}{x^{2} - 12}$ per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x^{2} - 12) x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Passaggio 2

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ per $\frac{1}{x + 6}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 6} (2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite inserendo $- 6$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite di $(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{(2 \cdot - 6 + 8) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{(- 12 + 8) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 12$ e $8$ .

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Sottrai $12$ da $36$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sottrai $24$ da $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Passaggio 3.1.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

Passaggio 3.1.3.6

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Passaggio 3.1.3.7

Calcola il limite inserendo $- 6$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Passaggio 3.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Passaggio 3.1.3.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Passaggio 3.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Passaggio 3.1.3.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Passaggio 3.1.3.8.2

Sottrai $12$ da $36$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

Passaggio 3.1.3.8.3

Moltiplica $- 6$ per $24$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

Passaggio 3.1.3.8.4

Somma $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.8.5

Moltiplica $- 144$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.8.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(2 x + 8) x - (x^{2} - 12)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(2 x + 8) x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x + 8$ e $g (x) = x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 x + 8] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 x + 8] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(2 x + 8) \cdot 1 + x (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.7

Moltiplica $2 x + 8$ per $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.9

Somma $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + x \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8 + 2 \cdot x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.3.11

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} - 12)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4.4

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 8 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $2 x$ da $4 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x (x^{2} - 12)$ e $g (x) = x + 6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.15

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.16

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.20

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.21

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

Passaggio 3.3.22

Moltiplica $x^{2} - 12$ per $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

Passaggio 3.3.23

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Passaggio 3.3.24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.24.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Passaggio 3.3.24.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.4

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.24.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.24.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.24.5.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.2

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.5

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.6

Moltiplica $3$ per $6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.7

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

Passaggio 3.3.24.5.8

Moltiplica $6$ per $- 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Passaggio 3.3.24.5.9

Somma $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Passaggio 3.3.24.5.10

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 8}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 8$ e $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x) + 8}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x) + 2 (4)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.4.2

Scomponi $2$ da $18 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Passaggio 3.4.4.4

Scomponi $2$ da $- 24 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

Passaggio 3.4.4.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

Passaggio 3.4.4.6

Scomponi $2$ da $- 72$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)}$

Passaggio 3.4.4.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Passaggio 3.4.4.8

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (x + 4)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Passaggio 3.4.4.9

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 4}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.6

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.8

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.9

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

Passaggio 4.10

Calcola il limite di $36$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} x + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $- 6$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{- 6 + 4}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 6$ per $x$ .

$\frac{- 6 + 4}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $- 6$ e $4$ .

$\frac{- 2}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 2}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 216$ .

$\frac{- 2}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 2}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $9$ per $36$ .

$\frac{- 2}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- 12$ per $- 6$ .

$\frac{- 2}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$\frac{- 2}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

Passaggio 6.2.7

Somma $- 432$ e $324$ .

$\frac{- 2}{- 108 + 72 - 36}$

Passaggio 6.2.8

Somma $- 108$ e $72$ .

$\frac{- 2}{- 36 - 36}$

Passaggio 6.2.9

Sottrai $36$ da $- 36$ .

$\frac{- 2}{- 72}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $- 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$\frac{- 2 (1)}{- 72}$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 72$ .

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 36}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 36}$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{36}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{36}$

Forma decimale:

$0.02\overline{7}$