Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \arctan (\frac{x}{y})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\arctan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ per $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Passaggio 2.3.8

$2$ e $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Passaggio 2.4.4.3

$\frac{x^{2}}{y^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 2.4.4.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 2.4.4.4.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Passaggio 2.4.4.5

Per scrivere $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Passaggio 2.4.4.6

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ e $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Passaggio 2.4.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i termini.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Espandi $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.3

Moltiplica $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ per $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1

Scomponi $2$ da $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 y^{3} y'$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 y y' x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.6

Scomponi $2$ da $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.1.7

Scomponi $2$ da $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.5

Elimina il fattore comune di $y^{2} + x^{2}$ e $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.5.1

Riordina i termini.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.5.3

Dividi $2 (x + y y')$ per $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7

Scomponi $2$ da $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.7.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.2

Scomponi $2$ da $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.3

Scomponi $2$ da $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.4

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.5

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.6

Scomponi $2$ da $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2.4.6.7.7

Scomponi $2$ da $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Dividi $x + y y' - x y' + y$ per $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Passaggio 5.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y y' - x y' + y = - x$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y y' - x y' = - x - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y y' - x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $y'$ da $y y'$ .

$y' y - x y' = - x - y$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - x - y$

Passaggio 5.2.4

Dividi per $y - x$ ciascun termine in $y' (y - x) = - x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Dividi per $y - x$ ciascun termine in $y' (y - x) = - x - y$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.5.1

Riscrivi $- (x + y)$ come $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Passaggio 5.2.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$