Calcolo Esempi

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 1

Dividi $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ per $t^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 t^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 t^{3} + 0 + 16 t$

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- t^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- t^{2} + 0 - 4$

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riordina $t^{2}$ e $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Passaggio 10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$4$ e $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Passaggio 10.3.2.2.4

Dividi $2 \arctan (\frac{t}{2})$ per $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Passaggio 10.4

Riordina i termini.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$