Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 12 x^{2} + 8$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 8 x - 3$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.57371511, 0.40927902, 1.16443609$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1.57371511, 0.40927902, 1.16443609$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1.57371511$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 1.57371511)}^{2} + 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1.57371511$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 2.47657926 + 8$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $2.47657926$ .

$- 29.71895122 + 8$

Passaggio 9.2

Somma $- 29.71895122$ e $8$ .

$- 21.71895122$

Passaggio 10

$x = - 1.57371511$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1.57371511$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1.57371511$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.57371511$ nell'espressione.

$f (- 1.57371511) = - {(- 1.57371511)}^{4} + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 1.57371511$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1.57371511) = - 1 \cdot 6.13344487 + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6.13344487$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 4 {(- 1.57371511)}^{2} - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1.57371511$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 4 \cdot 2.47657926 - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $4$ per $2.47657926$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 9.90631707 - 3 \cdot - 1.57371511 - 2$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1.57371511$ .

$f (- 1.57371511) = - 6.13344487 + 9.90631707 + 4.72114535 - 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 6.13344487$ e $9.90631707$ .

$f (- 1.57371511) = 3.7728722 + 4.72114535 - 2$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $3.7728722$ e $4.72114535$ .

$f (- 1.57371511) = 8.49401755 - 2$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $2$ da $8.49401755$ .

$f (- 1.57371511) = 6.49401755$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $6.49401755$ .

$y = 6.49401755$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0.40927902$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0.40927902)}^{2} + 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $0.40927902$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 0.16750932 + 8$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.16750932$ .

$- 2.01011185 + 8$

Passaggio 13.2

Somma $- 2.01011185$ e $8$ .

$5.98988814$

Passaggio 14

$x = 0.40927902$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.40927902$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0.40927902$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.40927902$ nell'espressione.

$f (0.40927902) = - {(0.40927902)}^{4} + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $0.40927902$ alla potenza di $4$ .

$f (0.40927902) = - 1 \cdot 0.02805937 + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.02805937$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 4 {(0.40927902)}^{2} - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $0.40927902$ alla potenza di $2$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 4 \cdot 0.16750932 - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0.16750932$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 0.67003728 - 3 \cdot 0.40927902 - 2$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $0.40927902$ .

$f (0.40927902) = - 0.02805937 + 0.67003728 - 1.22783707 - 2$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 0.02805937$ e $0.67003728$ .

$f (0.40927902) = 0.64197791 - 1.22783707 - 2$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $1.22783707$ da $0.64197791$ .

$f (0.40927902) = - 0.58585916 - 2$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $2$ da $- 0.58585916$ .

$f (0.40927902) = - 2.58585916$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2.58585916$ .

$y = - 2.58585916$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1.16443609$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(1.16443609)}^{2} + 8$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $1.16443609$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 1.3559114 + 8$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.3559114$ .

$- 16.27093691 + 8$

Passaggio 17.2

Somma $- 16.27093691$ e $8$ .

$- 8.27093691$

Passaggio 18

$x = 1.16443609$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.16443609$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1.16443609$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.16443609$ nell'espressione.

$f (1.16443609) = - {(1.16443609)}^{4} + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $1.16443609$ alla potenza di $4$ .

$f (1.16443609) = - 1 \cdot 1.83849575 + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1.83849575$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 4 {(1.16443609)}^{2} - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Passaggio 19.2.1.3

Eleva $1.16443609$ alla potenza di $2$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 4 \cdot 1.3559114 - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1.3559114$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 5.42364563 - 3 \cdot 1.16443609 - 2$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1.16443609$ .

$f (1.16443609) = - 1.83849575 + 5.42364563 - 3.49330827 - 2$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 1.83849575$ e $5.42364563$ .

$f (1.16443609) = 3.58514988 - 3.49330827 - 2$

Passaggio 19.2.2.2

Sottrai $3.49330827$ da $3.58514988$ .

$f (1.16443609) = 0.09184161 - 2$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $2$ da $0.09184161$ .

$f (1.16443609) = - 1.90815838$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 1.90815838$ .

$y = - 1.90815838$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 3 x - 2$ .

$(- 1.57371511, 6.49401755)$ è un massimo locale

$(0.40927902, - 2.58585916)$ è un minimo locale

$(1.16443609, - 1.90815838)$ è un massimo locale

Passaggio 21