Calcolo Esempi

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4} (x - 2)$ e $g (x) = x + 3$ .

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Passaggio 1.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.1.2

Somma $4$ e $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.7

Somma $1$ e $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.8

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.8.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.8.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.8.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.8.3

Somma $3$ e $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.9

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.10

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.13

Somma $1$ e $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.14

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Passaggio 1.5.8.15

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.5.8.16

Sottrai $8 x^{4}$ da $12 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.5.8.17

Somma $x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.5.8.18

Somma $3 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.5.8.19

Somma $x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 1.5.8.20

Somma $- 2 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $3$ per $- 24$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4} (x - 2)$ e $g (x) = x + 3$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 4.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Passaggio 4.1.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.1.2

Somma $4$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.3

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.7

Somma $1$ e $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.8

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.8.1

Sposta $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.8.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.8.3

Somma $3$ e $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.9

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.10

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.13

Somma $1$ e $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Passaggio 4.1.5.8.14

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Passaggio 4.1.5.8.15

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.1.5.8.16

Sottrai $8 x^{4}$ da $12 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.1.5.8.17

Somma $x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.1.5.8.18

Somma $3 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.1.5.8.19

Somma $x^{5}$ e $5 x^{5}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.1.5.8.20

Somma $- 2 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{3}$ da $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $6 x^{5}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $5 x^{4}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $- 24 x^{3}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $6 x^{2} + 5 x - 24$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $6 x^{2} + 5 x - 24$ uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = 5$ e $c = - 24$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $- 24$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2.3.1.3

Somma $25$ e $576$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

Passaggio 5.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $30$ per $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $20$ per $0$ .

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 72$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 5$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ nella derivata prima $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 3125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $5$ per $625$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $- 24$ per $- 125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Somma $- 18750$ e $3125$ .

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $- 15625$ e $3000$ .

$f' (- 5) = - 12625$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 12625$ .

$- 12625$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dall'intervallo $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ nella derivata prima $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

Passaggio 10.3.2.1.6

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $- 6$ e $5$ .

$f' (- 1) = - 1 + 24$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $- 1$ e $24$ .

$f' (- 1) = 23$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $23$ .

$23$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dall'intervallo $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ nella derivata prima $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

Passaggio 10.4.2.1.6

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Somma $6$ e $5$ .

$f' (1) = 11 - 24$

Passaggio 10.4.2.2.2

Sottrai $24$ da $11$ .

$f' (1) = - 13$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- 13$ .

$- 13$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ nella derivata prima $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $5$ per $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

Passaggio 10.5.2.1.6

Moltiplica $- 24$ per $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

Passaggio 10.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Somma $6144$ e $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 1536$

Passaggio 10.5.2.2.2

Sottrai $1536$ da $7424$ .

$f' (4) = 5888$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $5888$ .

$5888$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ , allora $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

Passaggio 10.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ , allora $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ è un minimo locale

Passaggio 11