Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{3} - x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x^{3} - x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - x}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 4.1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.7

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.1.2

Dividi $A ((x + 1) (x - 1))$ per $1$ .

$1 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$1 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$1 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.6

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.7.2

Dividi $(B) (x (x - 1))$ per $1$ .

$1 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.11

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.12

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.14

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.14.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 4.1.8.14.2

Dividi $(C) (x (x + 1))$ per $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Passaggio 4.1.8.15

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 4.1.8.16

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Passaggio 4.1.8.17

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Passaggio 4.1.8.18

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 4.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Sposta $B$ .

$1 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Passaggio 4.1.9.2

Sposta $- A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Passaggio 4.1.9.3

Sposta $- x B$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B + C$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A$

Passaggio 4.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B + C$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B + C = 0$ .

$- 1 + B + C = 0$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = - 1 B + C$ con $1 - C$ .

$0 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Semplifica $- 1 (1 - C) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4.2.1.1.3.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = - 1 + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 2 C = 0$ .

$- 1 + 2 C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 1$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 1 - C$ con $\frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (\frac{1}{2})$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Semplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.6.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{2 - 1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.6.2.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Passaggio 4.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{2}, C = \frac{1}{2}, A = - 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x^{3} - x}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$