Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{15} x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

$6$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{6}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $3$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{25}{6} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $\frac{25}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{25}{6} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{25}{6} (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.4.3

$4$ e $\frac{25}{6}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 25}{6} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $4$ per $25$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100}{6} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.5

$\frac{100}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{100 x^{3}}{6}$

Passaggio 1.1.4.6

Elimina il fattore comune di $100$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.1

Scomponi $2$ da $100 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{6}$

Passaggio 1.1.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 (3)}$

Passaggio 1.1.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (50 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{50 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.5

$\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.6.1

Scomponi $5$ da $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.4

Dividi $2 x^{4}$ per $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{50 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $\frac{50}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{50 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50}{3} (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.4.3

$3$ e $\frac{50}{3}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 50}{3} x^{2}$

Passaggio 1.2.4.4

Moltiplica $3$ per $50$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150}{3} x^{2}$

Passaggio 1.2.4.5

$\frac{150}{3}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{150 x^{2}}{3}$

Passaggio 1.2.4.6

Elimina il fattore comune di $150$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Scomponi $3$ da $150 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3}$

Passaggio 1.2.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 (1)}$

Passaggio 1.2.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (50 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{50 x^{2}}{1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4

Dividi $50 x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4} + 20 x^{3} + 50 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 50 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 50 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $50 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (25)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$2 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x + 5)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} {(x + 5)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 5$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{15}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{25}{6} \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $\frac{25}{6}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 5$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot {(- 5)}^{6} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $6$ .

$f (- 5) = \frac{1}{15} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 (3)} \cdot 15625 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $5$ da $15625$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 5) = \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot 3125) + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5) = \frac{1}{3} \cdot 3125 + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3125$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} + {(- 5)}^{5} + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $5$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot {(- 5)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $- 5$ alla potenza di $4$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25}{6} \cdot 625$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $\frac{25}{6} \cdot 625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

$\frac{25}{6}$ e $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{25 \cdot 625}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Moltiplica $25$ per $625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica $\frac{3125}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{3} \cdot \frac{2}{2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{3125}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 3125 + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Scrivi $- 3125$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 3125}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 3125}{1}$ per $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Riordina i fattori di $3 \cdot 2$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2}{6} + \frac{- 3125 \cdot 6}{6} + \frac{15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 5) = \frac{3125 \cdot 2 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $3125$ per $2$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 3125 \cdot 6 + 15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $- 3125$ per $6$ .

$f (- 5) = \frac{6250 - 18750 + 15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sottrai $18750$ da $6250$ .

$f (- 5) = \frac{- 12500 + 15625}{6}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 12500$ e $15625$ .

$f (- 5) = \frac{3125}{6}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{3125}{6}$ .

$\frac{3125}{6}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 5$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} + x^{5} + \frac{25}{6} x^{4}$ è $(- 5, \frac{3125}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 5, \frac{3125}{6})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 5, \frac{3125}{6})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5.1$ nell'espressione.

$f'' (- 5.1) = 2 {(- 5.1)}^{4} + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 5.1) = 2 \cdot 676.5201 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $2$ per $676.5201$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 {(- 5.1)}^{3} + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 + 20 \cdot - 132.651 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 132.651$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 {(- 5.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 50 \cdot 26.01$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $50$ per $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 1353.0402 - 2653.02 + 1300.5$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $2653.02$ da $1353.0402$ .

$f'' (- 5.1) = - 1299.9798 + 1300.5$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 1299.9798$ e $1300.5$ .

$f'' (- 5.1) = 0.5202$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.5202$ .

$0.5202$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 5.1$ , la derivata seconda è $0.5202$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 5)$ .

Crescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 {(- \frac{5}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{16}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 (8)}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{5}{2}) = 2 (\frac{625}{2 \cdot 8}) + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{2^{3}}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (- \frac{125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{125}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 20 (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 (5) (\frac{- 125}{8}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 125}{4 \cdot 2})) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 5 (\frac{- 125}{2}) + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.12

$5$ e $\frac{- 125}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{5 \cdot - 125}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.13

Moltiplica $5$ per $- 125$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.15

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.15.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})$

Passaggio 6.2.1.15.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.16

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.17

Moltiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{5^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.18

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.19

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 50 (\frac{25}{4})$

Passaggio 6.2.1.20

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.20.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 (25) (\frac{25}{4})$

Passaggio 6.2.1.20.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 6.2.1.20.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 2 \cdot (25 (\frac{25}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 6.2.1.20.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + 25 (\frac{25}{2})$

Passaggio 6.2.1.21

$25$ e $\frac{25}{2}$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{25 \cdot 25}{2}$

Passaggio 6.2.1.22

Moltiplica $25$ per $25$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} - \frac{625}{2} + \frac{625}{2}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{- 625 + 625}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 625$ e $625$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8} + 0$

Passaggio 6.2.2.2.3

Somma $\frac{625}{8}$ e $0$ .

$f'' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{8}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{625}{8}$ .

$\frac{625}{8}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- \frac{5}{2}$ , la derivata seconda è $78.125$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 5, 0)$ .

Crescente su $(- 5, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 {(0.1)}^{3} + 50 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 20 \cdot 0.001 + 50 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $20$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 50 \cdot 0.01$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $50$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.0002 + 0.02 + 0.5$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $0.0002$ e $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.0202 + 0.5$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.0202$ e $0.5$ .

$f'' (0.1) = 0.5202$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.5202$ .

$0.5202$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.5202$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia segno, da più a meno o da meno a più. Sul grafico non ci sono punti che soddisfano queste condizioni.

Nessun punto di flesso