Calcolo Esempi

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 5$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

Passaggio 3.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

Passaggio 3.2.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

Passaggio 3.3.4.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

Passaggio 3.3.4.8

Somma $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$9 x^{2} + 2 x + 15$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$