Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.3

Poiché $100 e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{4}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.5

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.6.1.1

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Passaggio 1.6.1.2

Somma $e^{x} + 32 x^{3}$ e $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $32 x^{3} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 x^{3}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$