Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + 1 {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica

${(4 x - 1)}^{2}$ per

$1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di

$x$ nel denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di

$2$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.5

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.6

Sposta l'esponente

$2$ da

${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.8

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 3.10

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta l'esponente

$2$ da

${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5.3

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta l'esponente

$3$ da

${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.3

Sposta il termine

$2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.5

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Passaggio 7.6

Sposta il termine

$3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$\frac{\infty \cdot {(4 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Sottrai

$0$ da

$4$ .

$\frac{\infty \cdot 4^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva

$4$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{\infty \cdot 16 + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$\frac{\infty + {(4 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Sottrai

$0$ da

$4$ .

$\frac{\infty + 4^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.8

Eleva

$4$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{\infty + 16}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.1.9

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica

$3$ per

$0$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 0)}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Somma

$2$ e

$0$ .

$\frac{\infty}{2^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$\frac{\infty}{8}$

Passaggio 9.3

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$\infty$