Calcolo Esempi

$- 2 \cos (\frac{5}{4} x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{5}{4}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (\frac{5 x}{4})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (\frac{5 x}{4})$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 x}{4})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{5 x}{4})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{5 x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 x}{4}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{4}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{4}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5 x}{4}$ .

$- 2 (- \sin (\frac{5 x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{4}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 (\sin (\frac{5 x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{4}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (\frac{5 x}{4}) (\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$\frac{5}{4}$ e $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{4} \sin (\frac{5 x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{4} \sin (\frac{5 x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

$\frac{10}{4}$ e $\sin (\frac{5 x}{4})$ .

$\frac{10 \sin (\frac{5 x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $10 \sin (\frac{5 x}{4})$ .

$\frac{2 (5 \sin (\frac{5 x}{4}))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (5 \sin (\frac{5 x}{4}))}{2 (2)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 \sin (\frac{5 x}{4}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2}$ per $1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{5 x}{4})]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{5 x}{4}))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{5 x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 x}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{4}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{4}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5 x}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot (\cos (\frac{5 x}{4}) \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{4}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{5 x}{4})$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{5 x}{4}) \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{4})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (\frac{5 x}{4})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \cos (\frac{5 x}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{4})$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cos (\frac{5 x}{4})}{2} \cdot (\frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $\frac{5 \cos (\frac{5 x}{4})}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (5 \cos (\frac{5 x}{4}))}{4 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 \cos (\frac{5 x}{4})}{4 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{25 \cos (\frac{5 x}{4})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \cos (\frac{5 x}{4})}{8} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{25 \cos (\frac{5 x}{4})}{8}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \cos (\frac{5 x}{4})}{8}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 \sin (\frac{5 x}{4}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sin (\frac{5 x}{4}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sin (\frac{5 x}{4}) = 0$ .

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sin (\frac{5 x}{4})}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{5 x}{4})$ per $1$ .

$\sin (\frac{5 x}{4}) = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$\sin (\frac{5 x}{4}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{5 x}{4} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{5 x}{4} = 0$

Passaggio 5.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 x = 0$

Passaggio 5.5

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 0$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x = 0$

Passaggio 5.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{5 x}{4} = π - 0$

Passaggio 5.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{5} (π - 0)$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Semplifica $\frac{4}{5} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = \frac{4}{5} π$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

$\frac{4}{5}$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{5}$

Passaggio 5.8

La soluzione dell'equazione $\frac{5 x}{4} = 0$ .

$x = 0, \frac{4 π}{5}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{25 \cos (\frac{5 (0)}{4})}{8}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $4$ da $5 (0)$ .

$\frac{25 \cos (\frac{4 (5 \cdot (0))}{4})}{8}$

Passaggio 7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{25 \cos (\frac{4 (5 \cdot (0))}{4 (1)})}{8}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cos (\frac{4 (5 \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{8}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25 \cos (\frac{5 \cdot (0)}{1})}{8}$

Passaggio 7.1.2.4

Dividi $5 \cdot (0)$ per $1$ .

$\frac{25 \cos (5 \cdot (0))}{8}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{25 \cos (0)}{8}$

Passaggio 7.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{25 \cdot 1}{8}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $25$ per $1$ .

$\frac{25}{8}$

Passaggio 8

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{5}{4} \cdot (0))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 9.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4 π}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{25 \cos (\frac{5 (\frac{4 π}{5})}{4})}{8}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$5$ e $\frac{4 π}{5}$ .

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{5 (4 π)}{5}}{4})}{8}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{20 π}{5}}{4})}{8}$

Passaggio 11.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Riduci l'espressione $\frac{20 π}{5}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Scomponi $5$ da $20 π$ .

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{5 (4 π)}{5}}{4})}{8}$

Passaggio 11.3.1.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{5 (4 π)}{5 (1)}}{4})}{8}$

Passaggio 11.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{5 (4 π)}{5 \cdot 1}}{4})}{8}$

Passaggio 11.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{8}$

Passaggio 11.3.2

Dividi $4 π$ per $1$ .

$\frac{25 \cos (\frac{4 π}{4})}{8}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cos (\frac{4 π}{4})}{8}$

Passaggio 11.4.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{25 \cos (π)}{8}$

Passaggio 11.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{25 (- \cos (0))}{8}$

Passaggio 11.4.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{25 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{25 \cdot - 1}{8}$

Passaggio 11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$\frac{- 25}{8}$

Passaggio 11.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{25}{8}$

Passaggio 12

$x = \frac{4 π}{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4 π}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{4 π}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (\frac{5}{4} \cdot (\frac{4 π}{5}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (\frac{5}{4} \cdot \frac{4 π}{5})$

Passaggio 13.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (\frac{1}{4} \cdot (4 π))$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (\frac{1}{4} \cdot (4 (π)))$

Passaggio 13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (\frac{1}{4} \cdot (4 π))$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cos (π)$

Passaggio 13.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.5

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{5}) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{5}) = 2$

Passaggio 13.2.6

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 2 \cos (\frac{5}{4} x)$ .

$(0, - 2)$ è un minimo locale

$(\frac{4 π}{5}, 2)$ è un massimo locale

Passaggio 15