Calcolo Esempi

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.2

Combina.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.6

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.7.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 5.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Espandi $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Per scrivere $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 15.2

$- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Passaggio 15.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 15.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.4.1

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

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Passaggio 15.4.1.1

Sposta ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 15.4.1.2

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 15.4.1.3

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Passaggio 15.4.1.4

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Passaggio 15.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.4.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Passaggio 15.4.3.2

Semplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

Passaggio 15.4.4

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

Passaggio 15.4.5

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

Passaggio 15.4.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

Passaggio 15.4.5.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

Passaggio 15.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Passaggio 15.5

Combina.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

Passaggio 15.8

Moltiplica ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$