Calcolo Esempi

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Passaggio 1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 9.2.3

$- 5$ e $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 9.2.5

Scomponi $5$ da $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Passaggio 9.2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.6.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Passaggio 9.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Passaggio 9.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Passaggio 9.2.6.4

Dividi $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$