Calcolo Esempi

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.12

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.13

Moltiplica $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ per $1$ .

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.2.14

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.15

$3$ e $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.16

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.17

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ come ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.2.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 1.2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.7.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.11.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.2.13

Somma $1$ e $0$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.2.14

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.2.15

Moltiplica $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.2.2.16

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.17

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.18

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.19

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.19.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.2.2.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.19.4

Somma $4$ e $1$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.2.3

Sottrai $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso