Calcolo Esempi

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(k + 1)}^{2}$ come $(k + 1) (k + 1)$ .

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

Passaggio 1.2

Espandi $(k + 1) (k + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $k$ per $k$ .

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $k$ per $1$ .

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $k$ per $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

Passaggio 1.3.2

Somma $k$ e $k$ .

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

Passaggio 1.4

Espandi $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $k^{2}$ .

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.3.1

Sposta $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.3.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $k$ per $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

Passaggio 1.6

Somma $- 3 k^{2}$ e $2 k^{2}$ .

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

Passaggio 1.7

Somma $- 6 k$ e $k$ .

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Passaggio 1.8

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Passaggio 2

Espandi la serie per ciascun valore di $k$ .

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Passaggio 3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Passaggio 3.4

Sottrai $25$ da $125$ .

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$100 - 25 - 3$

Passaggio 3.6

Sottrai $25$ da $100$ .

$75 - 3$

Passaggio 3.7

Sottrai $3$ da $75$ .

$72$