Calcolo Esempi

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 5

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ per $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Passaggio 10

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2

Espandi $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Passaggio 10.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.4

Sposta $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $\cos (u_{1})$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.8

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2.9

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2.10

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 10.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Passaggio 10.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.13

Sottrai $\cos (u_{1})$ da $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.14

Sottrai $\cos^{2} (u_{1})$ da $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 14

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 17

Applica la regola costante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 18

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 18.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 18.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 18.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 18.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 18.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 18.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Passaggio 19

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Passaggio 20

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 21

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Semplifica.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 22.2

Semplifica.

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Passaggio 22.2.1

Per scrivere $u_{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 22.2.2

$u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 22.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 22.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 22.2.5

Sottrai $u_{1}$ da $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 23

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 23.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Passaggio 23.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Passaggio 23.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 24.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 24.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 24.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Passaggio 24.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Passaggio 24.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Passaggio 24.3

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Passaggio 24.4

Moltiplica $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ .

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Passaggio 24.4.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Passaggio 24.4.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Passaggio 25

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Passaggio 26

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$