Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Passaggio 2.5.1.5

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = 1 + 3$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 7

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2$ per $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 8.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 8.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Passaggio 8.2.9

Sottrai $2$ da $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Passaggio 8.2.10

$3$ e $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $3$ per $14$ .

$\frac{42}{3}$

Passaggio 8.2.12

Elimina il fattore comune di $42$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.12.1

Scomponi $3$ da $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Passaggio 8.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Passaggio 8.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14}{1}$

Passaggio 8.2.12.2.4

Dividi $14$ per $1$ .

$14$

Passaggio 9