Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}}$ come $e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 - \sin (2 x))}^{\frac{1}{3 x}})$ spostando $\frac{1}{3 x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 - \sin (2 x))}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{3 x}$ e $\ln (1 - \sin (2 x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{3 x}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 - 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \sin (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (2 x)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - \sin (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [1 - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \sin (2 x)} \cdot - 1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{1 - \sin (2 x)}$ e $\cos (2 x)$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.11

$- 2$ e $\frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} - \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}}$

Passaggio 4.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Passaggio 4.9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 1 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$e^{\frac{- 1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{3}) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 6.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \sin (0)}}$

Passaggio 6.6.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 0}}$

Passaggio 6.6.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 + 0}}$

Passaggio 6.6.4

Somma $1$ e $0$ .

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Passaggio 6.7

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 6.7.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Passaggio 6.7.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \frac{2}{3} \cdot 1}$

Passaggio 6.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 6.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{2}{3}}}$