Calcolo Esempi

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{3}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{4}$ e $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $t$ per $x$ e per $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Passaggio 12.2.2

Calcola $\frac{t^{2}}{2}$ per $x$ e per $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Passaggio 12.2.3

Calcola $\frac{t^{3}}{3}$ per $x$ e per $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Passaggio 12.2.4

Calcola $\frac{t^{4}}{4}$ per $x$ e per $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Somma $x$ e $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.5

Somma $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.6

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.7.1

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.7.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.9.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.11

Somma $\frac{x^{3}}{3}$ e $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12

$3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.13.1

Elimina il fattore comune.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.13.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.14

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Passaggio 12.2.5.15

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.15.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 12.2.5.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.15.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.5.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.5.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Passaggio 12.2.5.15.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Passaggio 12.2.5.16

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Passaggio 12.2.5.17

Somma $\frac{x^{4}}{4}$ e $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Passaggio 12.2.5.18

$4$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Passaggio 12.2.5.19

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.19.1

Elimina il fattore comune.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Passaggio 12.2.5.19.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$