Calcolo Esempi

$f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ about $θ = 0$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = 0$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Passaggio 3

Calcola $f (0)$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \cos ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.2

Semplifica $\cos ((0) + \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.2

Somma $0$ e $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $0$ .

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Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (θ) = \cos (θ + \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $θ + \frac{π}{3}$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $θ + \frac{π}{3}$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $\frac{π}{3}$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $\frac{π}{3}$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (θ + \frac{π}{3})$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $θ$ con $0$ nell'espressione.

$- \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Somma $0$ e $\frac{π}{3}$ .

$- \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x - 0)$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Sottrai $0$ da $x$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$L (x) = \frac{1}{2} - \frac{x \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7