Calcolo Esempi

$y = \frac{2 t - 3}{t + 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 2 t - 3$ e $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [2 t - 3] - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(t + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t + 2) (2 + 0) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 2 - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t + 2$ .

$\frac{2 \cdot (t + 2) - (2 t - 3) \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3) \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (t + 2) - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t - 3)}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t + 2 \cdot 2 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 t + 4 - (2 t) - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t - - 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{2 t + 4 - 2 t + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $2 t + 4 - 2 t + 3$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2 t$ da $2 t$ .

$\frac{0 + 4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{4 + 3}{{(t + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$