Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 1.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 2

Poiché $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ e $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , applica il teorema del confronto.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 3

Poiché $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ e $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ , applica il teorema del confronto.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Passaggio 4.4

Dividi $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Passaggio 5.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Passaggio 7.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Passaggio 7.1.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Passaggio 7.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 + 0 + 1$

Passaggio 7.2

Somma $2$ e $0$ .

$2 + 1$

Passaggio 7.3

Somma $2$ e $1$ .

$3$