Calcolo Esempi

$\int \frac{8 x - 3}{{(4 x^{2} - 3 x)}^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Allora $d u = (8 x - 3) d x$ , quindi $\frac{1}{8 x - 3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$8 x - 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Passaggio 4.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 3 x$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 3 x)}^{3}} + C$