Calcolo Esempi

$y = 7 x^{3} - 5 x^{2} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{3} - 5 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 10 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $21 x^{2} - 10 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21 x^{2}$ rispetto a $x$ è $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $21$ .

$42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$42 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$42 x - 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$42 x - 10 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $42 x - 10$ e $0$ .

$f'' (x) = 42 x - 10$