Calcolo Esempi

$7^{\sqrt{x} + 2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \ln (7)$

Passaggio 10.3

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (7)$ .

$\frac{7^{x^{\frac{1}{2}} + 2} \ln (7)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$