Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Passaggio 1

Calcola $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\sin^{2} (x)$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $\sin^{2} (x)$ fuori dall'integrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Passaggio 1.2

Sia $u = \sin (θ)$ . Allora $d u = \cos (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sia $u = \sin (θ)$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Differenzia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Passaggio 1.2.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.2.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Passaggio 1.2.5.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Passaggio 1.3

Espandi $u (\sin (x) - u)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Passaggio 1.3.2

Riordina $u$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Passaggio 1.3.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Passaggio 1.3.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Passaggio 1.3.5

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Passaggio 1.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Passaggio 1.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Passaggio 1.3.8

Riordina $u \sin (x)$ e $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Passaggio 1.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Passaggio 1.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Passaggio 1.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Passaggio 1.7

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Passaggio 1.8

Poiché $\sin (x)$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\sin (x)$ fuori dall'integrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Passaggio 1.10

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Passaggio 1.11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $0$ e per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Passaggio 1.11.2

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $0$ e per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.11.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Passaggio 1.11.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Passaggio 1.11.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Passaggio 1.11.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Passaggio 1.11.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Passaggio 1.11.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Passaggio 1.11.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Passaggio 1.11.3.14

Moltiplica $\sin (x)$ per $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Passaggio 1.11.3.15

Somma $0$ e $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Passaggio 1.11.3.16

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Passaggio 2

Calcola $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Passaggio 2.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola $0$ per $π$ e per $0$ .

$(0) + 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$