Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{3} + 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 7.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$