Calcolo Esempi

$\frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{e^{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Passaggio 8

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Passaggio 11

Riscrivi $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ come $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$