Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (2 x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x^{2} + 1$ . Allora $d u = 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{8}$ e $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\arctan (2 x) x$ per $1$ e per $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Passaggio 10.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $5$ e per $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $\arctan (2)$ per $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $0$ per $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.3.6

Somma $\arctan (2)$ e $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Passaggio 11.2

$\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Passaggio 12.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Passaggio 12.3

Dividi $5$ per $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Calcola $\arctan (2)$ .

$1.10714871 - \frac{\ln (5)}{4}$

Passaggio 13.2

Sottrai $\frac{\ln (5)}{4}$ da $1.10714871$ .

$0.70478923$