Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{2} t$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d t$ , quindi $2 d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{2} t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{1}{2} t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 5

Calcola $- \cot (u)$ per $\frac{π}{3}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{6})$ è $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 7.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 8.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 8.2

Per scrivere $2 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 8.3

$2 \sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 8.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.5.2

Somma $- 2 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$2.30940107 \dots$