Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 6 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $6 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 3$ da $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2}) - 3 (- 2 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 (1)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi ${(x - 1)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 1 + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 3$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 6 (0) - 3$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 3$

Passaggio 10.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 3$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - 3$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 3 {(4)}^{2} + 6 (4) - 3$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot 16 + 6 (4) - 3$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f' (4) = - 48 + 6 (4) - 3$

Passaggio 10.3.2.1.3

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (4) = - 48 + 24 - 3$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $- 48$ e $24$ .

$f' (4) = - 24 - 3$

Passaggio 10.3.2.2.2

Sottrai $3$ da $- 24$ .

$f' (4) = - 27$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 27$ .

$- 27$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11