Calcolo Esempi

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $3$ da $- 3 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $3$ da $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Allora $d u = (2 x + 2) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 8.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 8.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 8.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.2

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.4

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2.4.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$