Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{\sin (0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.1.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (3 x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Passaggio 2.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \cos (0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$2 + 15 \cos (0)$

Passaggio 4.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 + 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $15$ per $1$ .

$2 + 15$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $15$ .

$17$