Calcolo Esempi

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{- 7}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 7$ .

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 7$ per $8$ .

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 3.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 3.4.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.3.1

$- 56$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3.3

$15$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Riordina i termini.

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$