Calcolo Esempi

$f (x, y) = x + y + x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Passaggio 2

Moltiplica $f$ per ogni elemento della matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y + x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$x y' + y + 1 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $x$ per ogni elemento della matrice.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Sposta $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $x y' + y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Passaggio 5.4.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Passaggio 5.5

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riordina i fattori in $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$