Calcolo Esempi

$\int_{5}^{\sqrt{x}} f (t) d t = x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata di $\int_{5}^{\sqrt{x}} f t d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] (f \sqrt{x})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (f \sqrt{x})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (f \sqrt{x})$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (f \sqrt{x})$

Passaggio 9

$f$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{f}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x}$

Passaggio 10

$\frac{f}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{x}$ .

$\frac{f \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$